习题 3, § 4

令 E 为具有可数无限基 $(a_n)$ 的 Hausdorff 局部凸空间。 a) 证明 E 承认一个可数的、拓扑独立的基 $(e_n)$（利用 E 中的每条线都有一个拓扑补集，定义 $e_n$ 和归纳）。 b) 证明，对于要桶化的 E，E 的拓扑 $\mathscr{T}$ 与 E 上最细的局部凸拓扑相同是充分必要的（观察到每个序列 $(\lambda_n e_n)$ 的凸平衡包络在 E 中是封闭的）。特别是，如果 $\mathscr{T}$ 可度量，则 E 不会被桶化（cf. 练习 2）。