习题 4, § 4

设 E 为 Banach 空间，其中存在无限代数独立的序列 $(a_n)$，其在 E 中是总的（对于例空间 $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4)）。令 B 为 E 包含的基的 $a_n$；我们知道 (II, p. 80, exerc. 24) B 不可数。令$(e_n)$为B中不同元素的序列，并且与$a_n$不同，并令C为B中$e_n$的集合的补集。令$F_n$为由生成的E的向量子空间 C 和 $e_k$ 代表指标 $k \leq n$； E 是 $F_n$ 的并。设S为E中的单位球；证明存在指标 n，使得$S \cap F_n$不是第一类别集合。推断对于 n 的值，$F_n$ 是可度量的、非完全的 Baire 空间。