习题 13, § 5

令 E、F、G 为三个拓扑向量空间，S（分别为 T）为 E（分别为 F）的有界子集族。令 H 为从 E × F 到 G 的 T-次连续双线性映射的向量空间。 a) 证明在形式 M × N 的集合上均匀收敛的 H 拓扑，其中 M ∈ S 且 N ∈ T 与向量空间结构兼容；这个拓扑被称为 H 上的 (S, T) 拓扑。对于每个映射 u ∈ H，令 ũ 为从 E 到 L_T(F ; G) 的连续映射 x ↦ u(x, .)。证明 u ↦ ũ 是从空间 H 到空间 L_S(E ; L_T(F ; G)) 的同构，赋予 (S, T) 拓扑。 b) 令 L 为 H 的子集，使得对于所有 u(x, y) 中的每个对 (x, y) ∈ E × F，集合（其中 u 穿过 L）在 G 中有界（简单地有界于 H 的子集）。证明，如果 E、F、G 是局部凸的，并且如果 E 和 F 是豪斯多夫且准完备的，则对于 (S, T) 拓扑，L 在 H 中有界。 c) 令 E、F、G 为三个 Hausdorff 局部凸空间。如果 E 是桶状的且 F 是准完全的或桶状的，则 H 的每个单有界子集 L 都是 T-等次连续（III，p. 47，练习 7）。 d) 如果 E 和 F 是桶形的，且 G 是准完备的，并且如果 S 和 T 分别是 E 和 F 的覆盖，则 H 是豪斯多夫且对于 (S, T) 拓扑是准完备的。