习题 15, § 5

令 E 为实数的所有序列 x = (\xi_n)_{n \geq 0} 中的空间，使得级数与一般项 \xi_n 收敛。把\| x | = \sup_n | \和_{k=0}^n \xi_k |。

a) 表明\| x |在 E 上是范数，并且 E 对于这个范数是完整的。 b) 证明向量空间 \ell^1(\mathbf{N}) (I, p. 4) 被视为 E 的子空间，处处稠密（对于 E 的拓扑）；由范数 $\| x \|_1 = \sum_{n=0}^\infty | \xi_n |$ 定义的 \ell^1(\mathbf{N}) 上的拓扑严格比由 E 引起的拓扑更细 。 c) 设 (P_n) 为 \mathbf{N} \times \mathbf{N} 的有限子集的递增序列，形成 \mathbf{N} \times \mathbf{N} 的覆盖层。对于每个 x = (\xi_n) \in E 和每个 y = (\eta_n) \in \ell^1(\mathbf{N})，设 $f_n(x, y) = \sum_{(i,j) \in P_n} \xi_i \eta_j$。那么对于每个对 (x, y) \in E \times \ell^1(\mathbf{N}) 序列 (f_n(x, y)) 趋向于极限当且仅当对于其中每一个对 (x, y)，序列 (f_n(x, y)) 有界； f_n(x, y) 的极限则等于$(\sum_{n=0}^\infty \xi_n) (\sum_{n=0}^\infty \eta_n)$。

（利用III、p. 48的练习13、c），证明双线性形式$(f_n)$的序列等连续，并观察其收敛于子空间$l^1(\mathbf{N}) \times l^1(\mathbf{N})$； 结论使用 b) 的论证。） d) 对于每个$j \in \mathbf{N}$，令$\rho_{jn}$是$\mathbf{N}$闭区间的最小的数，其中并是$P_n \cap (\mathbf{N} \times \{j\})$到$\mathbf{N}$的投影；让$\rho_n = \sup_{j \in \mathbf{N}} \rho_{jn}$。证明c)中得到的条件等价于$\sup_n \rho_n < +\infty$。 （如果$\phi_n$是$P_n$的特征函数，则证明双线性形式$f_n$的范数是$\sup_{j \in \mathbf{N}} (\sum_{i=0}^\infty |\rho_n(i, j) - \phi_n(i+1, j)|)$。）