习题 3, § 5

令 E 为空间 $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$，且具有最细局部凸拓扑 (II, p. 26)；设 F 为空间 $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$； 空间 E 是超出生学的（III、p. 45、练习 19）且完整，而 F 是可度量且完整的。令 $\mathscr{S}$（或 $\mathfrak{T}$）为 E（或 F）的所有有界子集的集合。证明 $E \times F$ 上的双线性形式 $((x_n), (y_n)) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$ 是$(\mathscr{S}, \mathfrak{T})$-次连续，但不是连续的（$cf.$ IV、p. 48，练习 11）。