习题 2, § 6

令$E$为局部凸空间，它是Baire空间，$F$为局部凸可穷举空间（练习1），$(C_n, p_n, \phi_n)$为$F$的穷举。 a) 令$u$为从$E$到$F$的线性映射，并令$W$为$F$中的凸面、平衡且吸水的集合。 证明存在序列 $(c_k)$，使得所有 $k \geq 0$ 都存在 $c_k \in C_k$、$c_k = p_k(c_{k+1})$，以及整数 $> 0$ 的序列 $(m_k)$，使得集合 $u^{-1}(\phi_k(c_k) \cap m_k W)$ 中的每一个（表示为$M_k$）并不是$E$中的薄集合。 证明对于每个$\varepsilon > 0$，都存在数$> 0$的序列$(v_k)$，如果$E$的点的序列$(x_k)_{k \geq 1}$使得$x_k \in v_k M_k$对于所有$k \geq 1$，则级数$\sum_{k=1}^\infty u(x_k)$ 收敛于 $F$，并且其和属于到 $\varepsilon W$。 b) 假设在加法中，$E$是可度量的，并且$u$在$E \times F$中的图是封闭的。 证明对于每个$\varepsilon > 0$，我们都有$u^{-1}(W) \subset (1+\varepsilon) u^{-1}(W)$。 （观察到，如果$(U_k)$是$E$中$0$的邻域的可数基本系统，则对于每个$k$，$E$中存在$0$的凸平衡邻域$V_k$，使得$V_k \subset U_k \cap v_k \overline{M}_k$。 对于每个点$a \in u^{-1}(W)$，找到序列$(x_k)_{k \geq 0}$，使得$x_0 \in u^{-1}(W)$，$x_k \in v_k M_k$对于$k \geq 1$，$a - \sum_{j=0}^k x_j \in V_k$对于所有$k \geq 1$，然后应用a)。）

c) 由b)推导出，如果E是可度量的Baire空间，则从E到闭图F的每一个线性映射都是连续的。