习题 3, 附录 0

设 G 是复希尔伯特空间 E 上的拓扑群和 $\pi$ 连续酉表示。满足关系的连续线性映射 $c : G \to E$

对于 G 中的每个 s、t，称为连续 1-cocycle。令 $Z^1(G; E)$ 表示连续 1-cocycle 的复数向量空间。对于每个$a \in E$，映射$\delta(a) : s \mapsto \pi(s).a - a$是一个连续的1-余循环，称为a的余边。设$B^1(G; E)$表示线性映射$\delta : E \to Z^1(G; E)$中的像；放入 $H^1(G; E) = Z^1(G; E)/B^1(G; E)$（“G 的第一个连续上同调群，其中值在 E 中”）。 a) 证明$B^1(G; E)$由连续且有界的1-余循环组成。 （对于每个连续的 1-cocycle c 和每个 $s \in G$，我们通过 $\lambda_s.x = \pi(s).x + c(s)$ 在 E 上进行定义仿射变换 $\lambda_s$；然后对于 G 中的所有 s、t 进行 $\lambda_{st} = \lambda_s.\lambda_t$。令 K 为 $c(G)$ 的闭凸包络；然后对于所有的 $\lambda_s(K) = K$ $s \in G$ 和 $\lambda_s$ 诱导 K 自身的等距如果 c 有界，则表明 Ryll-Nardzewski 定理适用于 $\lambda_s$，并且如果 $\lambda_s.a = a$ 对于所有 $s \in G$，则$c = -\delta(a)$。 b) 如果 G 是紧的，则证明 $H^1(G; E) = \{0\}$。