修复了仿射变换的点或群

对于每个$u \in \Gamma$，令$K_u$为所有$x \in K$中的集合，使得$u(x) = x$。我们将证明$K_u$非空。设$x$为K的点；对于每个整数$n \geq 1$，令$x_n$为E的元素$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} u^i(x)$。由于K在$u$、点$x_n$属于下是凸且稳定的，并且由于K是紧的，因此存在极限点$a$共序列$(x_n)_{n \geq 1}$。从K到E的映射$y \mapsto u(y) - y$是连续的，因而$u(a) - a$是序列$(u(x_n) - x_n)_{n \geq 1}$的极限点。但我们有$u(x_n) - x_n = \frac{1}{n} (u^n(x) - x)$。

由于 K 是紧致的，因此也是有界的（III，p. 3，道具 2），序列 $(u^n(x) - x)_{n \geq 1}$ 是有界的；因而，序列$\left( \frac{1}{n}(u^n(x) - x) \right)_{n \geq 1}$趋于0（III，p. 4，命题3），并且由于E是Hausdorff，所以我们有$u(a) - a = 0$。因而$a \in K_u$。

每个集合$K_u$都是紧空间K的闭凸子集，我们将证明交$\bigcap_{u \in \Gamma} K_u$非空。为此，只需证明，对于$n \geq 1$和$\Gamma$中的$u_1, ..., u_n$，集合$K_{u_1} \cap ... \cap K_{u_n}$非空即可。 $n = 1$的情况已经考虑完毕，我们通过归纳对$n$进行辩论。假设 $n \geq 2$ 并放入 $L = K_{u_1} \cap ... \cap K_{u_{n-1}}$。通过归纳的假设，L是E的非空紧凸子集。由于$u_n$与$u_1, ..., u_{n-1}$可交换，我们有$u_n(L) \subset L$。 应用证明的第一个部分到$u_n$在L上引起的仿射变换，我们结论在L中存在点$a$使得$u_n(a) = a$；然后$a$属于到$K_{u_1} \cap ... \cap K_{u_n}$，那么它是非空的。

通过可解群 (A, I, § 6, No. 4) 的定义，存在 G 的不同子群的有限递减序列 $(G_i)_{0 \leq i \leq n}$，使得 $G_0 = G$、$G_n = \{e\}$ 且群 $G_{i-1}/G_i$ 是*可交换的* $1 \leq i \leq n$。令$K_i$表示K中$G_i$的固定点的集合。然后是$K_n = K$。此外，对于$1 \leq i \leq n$，$G_i$诱导的每元素在$K_i$上进行恒等变换；因而，如果 $K_i$ 非空，我们就可以在 K 上推出阿贝尔的群 $G_{i-1}/G_i$ 的作用；由此可见。 1 $K_i$中$G_{i-1}/G_i$固定点的集合$K_{i-1}$非空。通过在 $i$ 上下降归纳，我们结论 $K_0$ 非空，因此得出推论。

令 E 上的 $\mu$ 为线性形式，使得 $\mu(1) = 1$。对于每函数 $f \in E$，我们定义函数 $f' \in E$ $f'(x) = \|f\| - f(x)$ ($x \in X$)。首先假设$\mu$是均值；对于每个$f \in E$，我们有$f' \geq 0$，因而$\mu(f') \geq 0$，*即*$\mu(f) \leq \|f\|$；因而$\|\mu\| \leq 1$。

相反，假设$\mu$属于到$E'$，则$\| \mu \| \leq 1$；对于每个正数函数$f \in E$，我们有$\mu(f') \leq \| f' \|$，因而

最后$\mu(f) \geq 0$；因而，$\mu$是一个平均值。

显然$K$是凸的；从 cor 可以看出，$\sigma(E', E)$ 是紧致的。 3 个III、p. 17。

Q.E.D.

令$\Gamma$为从$X$到$X$的连续映射的集合，成对通勤。让$\gamma \in \Gamma$。对于每个函数 $f \in E$，我们有 $f \circ \gamma \in E$；因此我们可以对$X$上的均值集合$K$进行定义仿射变换$u_{\gamma}$，通过

如果$K$由$\sigma(E', E)$诱导分配拓扑，映射$u_{\gamma}$是连续的。如果$\gamma$是同胚，$u_{\gamma} \mu$可以由$\mu$通过迁移或结构推出。最后，我们对$\Gamma$中的所有$\gamma, \gamma'$有$u_{\gamma} u_{\gamma'} = u_{\gamma' \gamma} u_{\gamma}$。由马尔科夫-卡库塔尼 th。 (IV, p. 39, th.1), 在$X$上存在一个均值$\mu$，使得$u_{\gamma} \mu = \mu$对于所有$\gamma \in \Gamma$；在其他字中，对于$f \in E$和$\gamma \in \Gamma$，$\mu$满足关系$\mu(f) = \mu(f \circ \gamma)$。

以类似的方式，th 的推论。 1 (IV, p. 40) 意味着以下结果：

应用 prop 就足够了。 1 到可解的群 $G \times G$ 通过 $(g.g').x = {gxg'}^{-1}$ 作用于 $G$。

a) $K_1$ 是凸且紧的； b) $K_2$ 中的每个 $x_1$ 和 $x_2$ 都有 $\| x_1 - x_2 \| < \varepsilon$。

令$L$ 为$K$ 的所有极值点的集合的闭包。由克赖因-米尔曼 th。 (II,p. 55,第1),$K$是$L$的闭凸包络。由于$K$包含至少有两个点，$L$也是如此。对于每个$x \in L$，令$A_x$为所有$y \in L$中的集合，使得$\| x - y \| \leq \varepsilon / 4$。到假设，在$K$，存在$L$的可数子集$D$，使得$L = \bigcup_{x \in D} A_x$。由于范数是下半连续的，因此集合$A_x$都是闭集。 应用贝尔的第 3 次。 (GT, IX, § 5, No. 3, th. 1) 到紧空间 $L$，我们看到$D$中存在点$a$，$E$中存在开子集$U$，使得$L \cap U$为非空且包含在 $A_a$ 中。由于$L$包含至少有两个点，并且由于$E$是Hausdorff，因此我们可以通过$L \notin U$这样的方式来选择$U$。

Let $M$ be the closed convex envelope of $L \cap \complement U$. For every 实数 $t$ such that $0 < t < 1$, let $M_t$ be 集合 of all 向量 of 形式 $tx_1 + (1 - t) x_2$ with $x_1 \in M$ and $x_2 \in K$; this is a non-empty, compact convex 子集 of $K$. We shall prove that $M_t \neq K$ by reductio ad absurdum.假设$M_t = K$； then every extremal 点 $x$ in $K$ 属于 to $M_t$, hence can be written in 形式 $x = tx_1 + (1 - t) x_2$ with $x_1 \in M$ and $x_2 \in K$.这意味着$x = x_1 = x_2$，所以$x \in M$。作者：Krein-Milman th。 (II, p. 55, th. 1), we have $K = M$, and $K$ is the closed convex envelope of $L \cap \complement U$. By II, p. 56, corollary, this implies that $L \subset L \cap \complement U$, which 与……矛盾关系 $L \cap U \neq \varnothing$.

Put $d = \sup_{x \in K, y \in K} \| x - y \|$ and 选择实数 $t$ such that $0 < t < 1$ and $t < \varepsilon / 4d$.输入$K_1 = M_t$和$K_2 = K - M_t$。 By the preceding argument, 集合 $K_1$ and $K_2$ are non-empty, and $K_1$ is convex and compact. Let $M'$ be the closed convex envelope of $L \cap U$. Since $K$ is the closed convex envelope of 集合 $L = (L \cap \complement U) \cup (L \cap U)$, it is also the closed convex envelope of $M \cup M'$. Let $x_1$ and $x_2$ be two 点 in $K_2$; for $i = 1, 2$, there exist $y_i \in M$, $z_i \in M'$ and 实数 $\alpha_i$ such that $0 \leq \alpha_i \leq 1$ and $x_i = \alpha_i y_i + (1 - \alpha_i) z_i$.如果$\alpha_i \geq t$，那么

;这个与……矛盾假设那个$x_i \notin M_i$。因此$\alpha_i < t$，对于$i = 1, 2$，等等 For every 点 $z$ in $M'$, we have $\| z - a \| \leq \varepsilon / 4$, since $L \cap U \subset A_a$, and so, in particular $\| z_i - a \| \leq \varepsilon / 4$.因此 这样就完成了证明。

令$\mathfrak{J}$为K的非空子集族，对于G来说是闭凸且稳定的。如果$(L_\alpha)_{\alpha \in I}$是$\mathfrak{J}$的元素族，且按包含全序，则集合$L = \bigcap_{\alpha \in I} L_\alpha$属于到$\mathfrak{J}$。因而（S，III, § 3, No. 4，th.2），$\mathfrak{J}$中存在元素L，这对于包含关系来说是最小的。我们将证明L约化到点。

我们通过反证法进行论证，假设L包含至少有两个不同的点$x_1$和$x_2$，放入$x = (x_1 + x_2)/2$和$\varepsilon = \|x_1 - x_2\|/2$。凸和紧集 L 满足由范数 (GT, IX, § 2, No. 8) 定义的距离的第一可数公理。因而，我们可以应用引理 2 并找到L的紧凑且凸的子集$L_1$，与$\varnothing$和L不同，具有以下性质：

(A) 对于$L - L_1$中的每个$y_1$和$y_2$，我们有$\|y_1 - y_2\| < \varepsilon$。

我们将通过反证法证明$gx \in L_1$对于所有$g \in G$。令$g \in G$使得$gx \in L - L_1$那么我们有

$i = 1, 2$。到性质 (A)，我们有$gx_i \in L_1$。由于$L_1$是凸的，我们将结论从$gx = (gx_1 + gx_2)/2$属于到$L_1$，即与……矛盾假设。

令 $L'$ 为 x 的轨道 $Gx$ 的闭凸包络。 集合$L'$属于至$\mathfrak{J}$。根据前面的论证，我们有$L' \subset L_1$，因此有$L' \subset L, L' \neq L$。这样与……矛盾L和证明的最小特征标就完成了。

对于每个$g \in G$，令$K_g$表示K中所有点x中的集合，使得$gx = x$；令 K 被指定为弱化的拓扑；每个集合$K_g$在紧致空间K中都是凸且闭的。我们将证明交$\bigcap_{g \in G} K_g$非空；为此，只需证明对于G中的每个$g_1, ..., g_n$来说集合$K_{g_1} \cap ... \cap K_{g_n}$非空即可。固定$g_1, ..., g_n$并令H为$\{ g_1, ..., g_n \}$生成的G的子群。 K 中的选择点 a，令 L 表示 a 的轨道 Ha 的闭凸包络。令 D 为形式 $\lambda_1 h_1 a + \cdots + \lambda_m h_m a$ 的元素的可数集合，其中 $\lambda_1, ..., \lambda_m$ 是正有理数数，使得 $\lambda_1 + \cdots + \lambda_m = 1$ 和 $h_1, ..., h_m$ 是 H 中的元素。 D 的 $\overline{D}$ 对于强拓扑是凸的，因此它对于 $\sigma(E, E')$ 是封闭的（IV，p. 4，道具 2）；因而$\overline{D} = L$，这证明L是一个度量空间满足距离$(x, y) \mapsto \|x - y\|$的第一个可数公理。现在我们可以应用引理 2。L中存在点 b，它在H下是不变的，因而$b \in K_{g_1} \cap ... \cap K_{g_n}$。

由于 E 是自反的，因而 K 对于 $\sigma(E, E')$ (IV, p. 15, th. 1) 是紧致的。此外，G属于到$\mathscr{L}(E)$的每元素。