习题 5, 附录 0

令 $G$ 为离散的群。 a) 表明可以在 $G$ 上定义均值（执行 4）当且仅当由函数 $\gamma(s)\ x - x$ 生成的 $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ 的闭合向量子空间 $N$，其中 $s \in G$ 和 $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ 不同于 $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ （使用 Hahn-Banach 定理）。 b) 假设对于每个$\varepsilon > 0$和$G$的元素的每个有限序列$s_1, ..., s_k$，都存在$G$的非空有限子集$F$，使得

证明可以在 $G$ 上定义均值（使用 $a$）并证明 $1 \notin N$。 c) 假设可以在 $G$ 上定义均值。令 $\varepsilon > 0$ 且令 $s_1, ..., s_k$ 为元素 / $G$。证明空间 $\ell^1_\mathbf{R}(G)$ 中存在向量 $x \geq 0$ 使得 $\|x\| = 1$ 并且

其中$x$的范围超过$\ell^1_\mathbf{R}(G)$的所有向量的集合，使得$x \geq 0$和$\|x\| = 1$。证明 0 属于到集合 $C$ 的闭包对于拓扑 $\sigma(E, E')$；为此，对于$\sigma(E'', E')$，使用$a$、注意到，$E$的单位球密集于$E''$的单位球。 d) 对于$\ell^1_\mathbf{R}(G)$中的每个$x \geq 0$，以及每个$a > 0$，令$x_a$表示所有$s \in G$的集合的特征函数，使得$x(s) \geq a$（即$x_a(s) = 1$，如果$x(s) \geq a$，$x_a(s) = 0$（如果$x(s) < a$）。那么对于每$s \in G$，

e) 证明，如果可以在 $G$ 上定义均值，则对于每个 $\varepsilon > 0$，以及元素 $s_1, ..., s_k$ $G$ 的每个有限序列，都存在一个非空有限子集 $F$ $G$，使得

（表明，选择$x$如$c$），存在$a > 0$使得$\sum_{j=1}^k \| \gamma(s_j)\ x_a - x_a \| \leq \varepsilon$；使用$d$）。 \*