习题 1, § 1

设 A 为无限集合。 a) 令E为实数所有族$x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$的$\mathbf{R}$、由……组成上的Banach空间$\overline{\mathscr{K}(A)}$，使得$\alpha \mapsto x_\alpha$相对于A的有限子集补集过滤器趋于0，并赋予范数 $\|x\| = \sup_{\alpha \in A} |x_\alpha|$（当$A = \mathbf{N}$时，这个空间用$c_0$或$c_0(\mathbf{N})$表示）。证明 E 上的每个连续线性形式都可以用唯一的方式写为 $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$，其中 $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ 是一个族，使得 $\sum_{\alpha \in A} |u_\alpha| < +\infty$；那么E的对偶$E'$可以被识别为（作为非拓扑向量空间）空间$\ell^1(A)$（I，p. 4，例）。 b) 设 F 为 Banach 空间 $\ell^1(A)$ (I, p. 4, 例)（当 $A = \mathbf{N}$ 时，也用 $\ell^1$ 表示）。证明 F 上的每个连续线性形式都可以用唯一的方式写为 $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$，其中 $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ 是实数的有界族；那么 F 的对偶 $F'$ 可以用空间 $\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$ 来识别（作为非拓扑向量空间）。 c) 设 B 为任意集合，$(c_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ 数 $\geqslant 0$ 的任意族。令 G 为实数的所有族 $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ 的向量空间，这样，对于每个 $\beta \in B$，我们有 $p_\beta(x) = \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha \beta} |x_\alpha| < +\infty$； $p_\beta$ 是 G 上的半范数。在阶中，G（由该半范数族定义的拓扑）为 Hausdorff，充分必要条件是，对于每个 $\alpha \in A$，至少存在一个 $\beta \in B$ 使得 $c_{\alpha \beta} > 0$。证明 G 是完备的，并且 G 上的每个连续线性形式都可以唯一地写为 $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$，其中 $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ 是以下条件的实数满足族；存在指标 $\beta_i \in B$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) 和数 $a > 0$ 的有限数，使得$|u_\alpha| \leqslant a \cdot c_{\alpha \beta_i}$ 对于所有$\alpha \in A$ 和$1 \leqslant i \leqslant n$。在标量的域为 $\mathbf{C}$ 的情况下证明逆命题和扩展这些结果。