习题 16, § 1

令F和G为分离对偶性中的两个向量空间，F上所有线性形式$x'$的集合有界，F的每子集有界$\sigma(F, G)$称为F的代数对偶F*中G的*包围*；这是 F* 的向量子空间 $\tilde{G}$，当 F 被分配与 (III, p. 40, exerc.1) 相关的出生学空间的拓扑与与 F 和 G 之间的对偶性兼容的拓扑之一时，它是 F 的对偶。那么 G 被称为如果$\tilde{G} = G$，*附在F*中。 a) 令 M 为 F 的闭向量子空间，对于拓扑 $\sigma(F, G)$。证明如果 G 包含在 F* 中，并且如果 F/M 被分配拓扑 $\sigma(F/M, M^\circ)$，则其对偶包含在 (F/M)* 中。 b) 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间，E' 为对偶。对于出生性的 E，其拓扑与 $\tau(E, E')$ 相同且 E' 包含在 E* 中是充分必要的。 c) 令$(E_i)_{i \in I}$为Hausdorff局部凸空间族，以及$E_i$的F直和空间，赋予I、p. 24中定义的拓扑，执行。 14.证明F的对偶与所有族$(x'_i)$的$E_i$、由……组成的对偶的乘积$\prod_{i \in I} E'_i$的子空间规范同构，使得$x'_i = 0$除了可数的数之外指标。 （令$V_i$为$E_i$中任意一个0的邻域。证明，如果$x'_i \neq 0$对于指标的不可数集合，则存在数$\alpha > 0$和不可数集合 $H \subset I$使得存在$x_i \in V_i$，其中$\langle x_i, x'_i \rangle \geq \alpha$对于所有$i \in H$；结论，$(x'_i)$不能属于到F'。） d) 表明如果 I 不可数，则 F' 不包含在 F* 中；如果我们对所有$i \in I$取$E_i = \mathbf{R}$，则赋予强拓扑的F'是不完备的，并且F'中存在非弱相对紧的强有界子集。