习题 19, § 1

令 E 和 F 为两个 Hausdorff 局部凸空间，E' 和 F' 为它们的对偶。对于从E到F的连续线性映射的每个空间$\mathscr{L}(E; F)$的子集H，令'H表示映射$u \in H$的转置的集合。对于 E（或 F'）的每个子集 M（或 N'），令 H(M)（或 'H(N')）表示集合 $u(M)$（或 'u(N')）的并，因为 u 的范围大于 H。 a) 为了使 H 等连续，对于 F' 的每个等连续子集 N'，'H(N') 是 E' 的等连续子集是充分必要的。 b) 令 $\mathfrak{S}$ 为 E 的有界子集的集合。证明对于 $\mathfrak{S}$ 拓扑，H 在 $\mathscr{L}(E; F)$ 内有界，当且仅当对于每个 $y' \in F'$，'H(y') 在 $\mathfrak{S}$ 拓扑的 E 内有界。

c) 令$\mathfrak{S}$为E的有界子集的集合，F的有界子集的$\mathfrak{J}$集合，形成F的适应出生学（III，p. 3，def.4）。假设为 $E'$ 分配了 $\mathfrak{S}$ 拓扑，为 $F'$ 分配了 $\mathfrak{J}$ 拓扑。那么$'H$是等连续的当且仅当对于每个集合$B \in \mathfrak{S}$，$H(B)$属于到$\mathfrak{J}$。特别是，对于$F'$和$E'$上的强拓扑，$'H$是等连续的，当且仅当对于有界收敛的拓扑，$H$有界于$\mathscr{L}(E; F)$。 d) 从b)和c)推出，如果当$F'$和$E'$被分配强拓扑时，$'H$有界于$\mathscr{L}(F'; E')$的简单收敛拓扑，则$'H$对于这些拓扑是等连续的。 e) 证明如果 E 是桶装的，则以下属性是等效的： α) $H$ 简单地限制在 $\mathscr{L}(E; F)$ 内； β) $H$ 等连续； γ) 当$E'$被分配弱拓扑$\sigma(E', E)$时，$'H$简单地有界于$\mathscr{L}(F'; E')$； δ) 当 $E'$ 和 $F'$ 被指定为强拓扑时，$'H$ 是等连续的。 f) 证明如果 E 是 infrabarrelled (III, p. 44, exerc. 7)，则 e) 的性质 β) 和 δ) 是等价的，并且也等价于以下： ε) $H$ 的边界为 $\mathscr{L}(E; F)$，对于拓扑有界收敛； 当 $E'$ 被赋予强拓扑时，$'H$ 简单地限制在 $\mathscr{L}(F'; E')$ 中。 g) 证明如果 E 是准完备的，则 e) 的性质 α)、γ) 和 δ) 是等价的。