习题 2, § 1

a) 令 F 和 G 为分离对偶性中的两个向量空间。证明，如果 F 对于 $\sigma(F, G)$ (III，p. 43，练习 6) 是相对有界的，则 G 对于 $\sigma(G, F)$ 是相对有界的。

b) 设F为向量空间，且令G₁、G2为F*的两个向量子空间，使得F与G₁和G2处于分离对偶性。证明，如果 F 对于 σ(F, G₁) 和 σ(F, G2) 是相对有界的，那么对于 σ(F, G₁ + G2) 也是如此。 c) 假设 F 有一个可数基。证明，对于 F* 的每个向量子空间 G（与 F 分离对偶性且具有可数基），F 对于 σ(F, G) 是相对有界的（分别由 F 和 G 的归纳定义两个基 (aₙ), (bₙ) 组成，使得$\langle a_m, b_n \rangle = \delta_{mn}$）。