习题 7, § 1

设F为直和空间$\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$，G空间$\ell^1(\mathbf{N})$（I，p. 4，例）； F 和 G 被双线性形式置于对偶性

对于 $x = (\xi_n) \in F$ 和 $y = (\eta_n) \in G$。 a) 证明，在 F 中，对于 σ(F, G) 来说，每个集合 K 都是有限维的。 （假设相反；令 $(n_k)$ 为整数 > 0 的严格递增的序列，以及 K 的点的 $(a_k)$ 序列，使得指标 > $n_k$ 的 $a_k$ 的分量为零，但指标 $n_k$ ≠ 0。证明存在数 > 0 的序列 $(t_k)$，使得 $\sum_k t_k < + \infty$ 且在所有有界的 Banach 空间 $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ 中实数、点 $\sum_k t_k a_k$ 的序列对于指标 $n_i$ 具有非零分量，对于所有 i，推导出部分和 $s_p = \sum_{k=1}^p t_k a_k$ 不能的序列有F 中的极限点代表 σ(F, G)。） b) 证明在 F 中，对于无穷维的 σ(F, G) 存在紧集（观察到 G 是由范数空间 $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ 的拓扑导出的拓扑的 F 对偶）。证明 F 中对于 σ(F, G) 存在不相对紧的预紧集。

c) 从a)和b)推导出$\tau(G, F) = \sigma(G, F)$，但$\tau(G, F)$与$F$的子集一致收敛的拓扑不同，$\sigma(F, G)$是紧致的。