习题 1, § 2

$a$) 设 $E$ 为局部凸 Hausdorff 空间，$E'$ 为对偶。证明以下性质是等价的： $\alpha$ $E$ 是桶下（III、p. 44、练习 7）。 $\beta$ $E'$ 中的每个强有界子集都是等连续的。 $\gamma$ $E'$中的每个强有界子集都是相对弱紧的，$E$的初始拓扑是$\tau(E, E')$。 由双数$E''$的强拓扑在$E$引起的$\delta$拓扑与$E$上的初始拓扑相同。 那么对于$E''$的强拓扑，邻域的基本系统为0，对于拓扑$\sigma(E'', E')$，由初始拓扑的邻域的基本系统的闭包组成$E$。 b) 证明如果 $E$ 是下桶形且其对偶 $E'$ 与其代数对偶 $E^*$ 相同，则 $E$ 的初始拓扑是最精细的局部凸拓扑。