习题 15, § 2

记号是锻炼的。 14. a) 令$E'$中的$(x'_n)$为序列，对于拓扑$\sigma(E', E'')$收敛于0；表明，对于每个$\varepsilon > 0$，A 都存在有限子集 H，使得对于每个整数 n 都有$\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$。 （通过反证论证：如果性质不为真，则证明存在数$\delta > 0$、递增序列$(n_k)$、整数、递增序列$(H_k)$ A 的有限子集，使得 $\sum_{\alpha \in H_{k-1}} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ 代表 $n \geq n_k$，$\sum_{\alpha \notin H_k} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ 代表 $n \leq n_k$ 和 $\sum_{\alpha \in H_k - H_{k-1}} |x'_n(\alpha)| \geq \frac{\delta}{2}$；这表明这意味着矛盾（“滑动凹凸”方法）。） 推论对于强拓扑，序列$(x'_n)$收敛于0，尽管后者严格更细比拓扑$\sigma(E', E'')$。 b) 证明如果$(x'_n)$对于拓扑$\sigma(E', E'')$来说是$E'$中的柯西序列，那么对于这个拓扑，它会收敛到$E'$中的点；在其他字中，$E'$ 是 $\sigma(E', E'')$ 的半完整（III、p. 7）。 （表明，对于每个 $\varepsilon > 0$，A 中都存在有限子集 H，使得对于每个整数 n 都有 $\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$；通过反证法论证，如 a) 中，并使用 a)。）