习题 17, § 2

设E是非自反Banach空间，E'是其强对偶，E''是E'的强对偶，E'''是E''的强对偶，E^{IV}是E'''的强对偶。 a) 证明，在 E''' 中，E' 和与 E 正交的子空间 $E^\circ$（当 E 被认为是 E'' 的子空间时）是拓扑补集，并且从 E''' 到 E' 的投影对于这个分解是范数的连续线性映射 1.与exerc比较。 16, c)，推断出 Banach 空间 $\mathscr{K}(A)$ 与任何 Banach 空间的强对偶不同构（作为拓扑向量空间）。 b) 证明E^{IV}是${E'}^\circ$和E''的拓扑直和，也是${E'}^\circ$和${E''}^\circ$的拓扑直和；我们有$E'' \cap {E''}^\circ = E$。设$v$是从E^{IV}到自身的线性映射，它是${E'}^\circ$上的恒等式，而在E''上，是投影从E''到平行于${E'}^\circ$的${E''}^\circ$；表明 $v$ 是等距，但对于拓扑 $\sigma(E^{IV}, E''')$ 不连续。