习题 20, § 2

设 E 为 Banach 空间，E' 为对偶，B 单位位于 E 中。在阶中，B 的每个点都有一个可数基本系统邻域，对于拓扑，由减弱的拓扑 $\sigma(E, E')$ 引起B、对于强拓扑，E'满足可数性第一公理是充分必要的。 （为了证明条件是必要的，请观察如果B中的每个点对于弱化的拓扑都有一个邻域的可数基本系统，那么对于拓扑$\sigma(E'', E')$，E''中B的闭包$B^{\circ\circ}$也成立。因此存在E' 中的序列 $(a'_n)$，使得 $B^{\circ\circ}$ 中的每个邻域对于 $B^{\circ\circ}$ 的 $\sigma(E'', E')$ 包含交和极坐标 $\{a'_n\}^\circ$ 的有限数考虑强闭子空间； E' 的 W' 由 $a'_n$ 生成，以及 E'' 中 W' 的正交 ${W'}^\circ$。）