习题 21, § 2

设 E 为 Banach 空间，E' 为对偶，B 单位球在 E 中，$B'_r$ 中心 0 且半径为 r 的封闭球在 E' 中。 a) 令$M'_1, M'_2$为E'的两个向量子空间，对于弱拓扑$\sigma(E', E)$来说，它们处处稠密。在阶中，$\sigma(E, M'_1)$和$\sigma(E, M'_2)$在B重合上导出的拓扑，E'中$M'_1$和$M'_2$的强闭包相同是充分必要的。 b) 令 M' 为 E' 的向量子空间，对于 $\sigma(E', E)$ 处处稠密；让${M'}^{(1)}$表示由E'中的$M' \cap B'_1$闭包针对拓扑$\sigma(E', E)$生成的向量子空间。在阶 ${M'}^{(1)} = E'$ 中，$M' \cap B'_1$ 包含球$B'_r$ 与$r > 0$ 的弱闭包是必要且充分的（利用E' 是针对强拓扑进行桶装的事实）。 c) 令r为数t的上确界，使得$M' \cap B'_1$包含是一个球$B'_t$的弱闭包； 数 r 被称为 M' 的特征。证明 r 是数 $\sup_{x' \in M' \cap B'_1} |\langle x, x' \rangle| / \|x\|$ 的下确界，其中 x 的范围超过 E 中所有点 $\neq 0$ 的集合（使用 Hahn-Banach 定理）。 d) 证明 $1/r$ 是 $\|x\|$ 的上界，因为 x 的范围超过 E 中 B 的闭包，对于拓扑 $\sigma(E, M')$（使用 c）和 Hahn-Banach 定理）。

e) 令${M'}^\circ$为$M'$在$E''$中的正交；证明$r = \inf(\|x + z''\|/\|x\|)$，其中$z''$的范围超过${M'}^\circ$，$x$的范围超过集合或$E$中的非零点（使用c）和Hahn-Banach th）。推论在阶和${M''}^{(1)} = E'$中，$E + {M'}^\circ$在$E''$中强闭是充分必要的（使用Banach的th.，I，p. 17）。

f) 设$A = \mathbf{N} \times \mathbf{N}$和$E = \mathscr{K}(A)$（cf.IV，p. 54，练习14）。在空间$E'' = \ell^\infty(A)$中，令$P$为所有点$x = (x_{ij})$中的向量子空间由……组成，使得$x_{ij} = x_{0j}/(j+1)$对于所有$i \geq 0$。证明 $P = {M'}^\circ$，其中 $M'$ 是 $E'$ 的向量子空间，它处处稠密（对于 $\sigma(E', E)$），但 $E + {M'}^\circ = E + P$ 在 $E''$ 中不是强闭的；推导出$M'$的特征为0。