习题 22, § 2

令$E$为Banach空间，$E'$为对偶，$M'$为$E'$中的强闭子空间，对于$E'$上的弱拓扑处处稠密。如果$M'$不存在向量子空间 $N' \neq M'$（在$E'$中是强闭且处处弱稠密），我们说$M$是*不可约的*。 a) 证明$M'$是不可约的当且仅当$E''$中$M'$的正交${M'}^\circ$是$E$的拓扑补（对于$E''$的强拓扑）。推导出${M''}^{(1)} = E'$（练习21）并且$E$同构于空间$M'$的强对偶，赋予由$E'$的强拓扑诱导的拓扑。 b) 证明 $M'$ 是不可约的，当且仅当 $E$ 中的单位球对于拓扑 $\sigma(E, M')$ 相对紧凑（使用练习 21，a））。 c) 为了使$E$同构于Banach空间的强对偶（对于拓扑向量空间结构），$E'$中存在不可约子空间是充分必要的。推导出新的证明，事实是 Banach 空间 $\mathscr{K}(\mathbf{N})$ 与 Banach 空间的强对偶不同构（cf. IV，p. 55，练习 16，c））。