习题 24, § 2

a) 令$(a_k)_{1 \leq k \leq n}$为范数空间$E$中点的有限序列，并令$(\lambda_k)_{1 \leq k \leq n}$为数$> 0$的有限序列，使得$\sum_{k=1}^n \lambda_k < 1$；每$k$放$\mu_k = 1 - \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j$；然后

b) 令$(a_n)$为$E$的单位球中点的无限序列，并令$(\lambda_n)$为数$> 0$的无限序列，使得$\sum \lambda_n = 1$。对于每个$n > 0$，放入$\mu_n = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k$和$b_n = \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k a_k + \mu_n a_n$；表明，对于所有 $n \geq 1$，我们有 （在归纳之前应用 a）。） c) 令$(C_n)$为$E$中凸集合的递减序列，包含在单位球中，并假设$d(0, C_1) \geq \theta > 0$（因此，对于所有$n$，*更不必说* $d(0, C_n) \geq \theta$）。令$(\lambda_n)$为数$> 0$的序列，使得$\sum \lambda_n = 1$。证明存在数 $\alpha$，使得 $\theta \leq \alpha \leq 1$ 和 $E$ 的点序列 $(x_n)$，使得 $x_n \in C_n$ 对于所有 $n$、$\|\sum_n \lambda_n x_n\| = \alpha$ 以及对于所有 $n$

（取$x_1$使得$\|x_1\|$任意接近$d(0, C_1)$，然后，通过归纳，取$x_n$使得$\left\| \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) x_n \right\|$任意接近数$\left\| \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) y \right\|$的下确界，其中$y$范围超过$C_n$。）