习题 3, § 3

令 E 为局部凸可度量空间，且 $E'_b$ 为强对偶。 a）证明$E'_b$的每个凸平衡子集$V'$吸收了$E'_b$包含的强有界子集，一个桶（对于强拓扑）吸收了$E'_b$的强有界子集。 （令$(K'_n)$为$E'_b$的正则出生学的可数基，令$\lambda_n$满足$\lambda_n K'_n \subset \frac{1}{2}V'$；将练习2，b）应用于序列$A'_n$，其中$A'_n$是并的凸包络$\lambda_j K'_j$ 对应 $j \leq n$。） b) 从 a) 推导出以下性质是等价的： $\alpha)$ E 被区分（IV，p. 52，练习 4）。 $\beta)$ $E'_b$ 位于桶下（III、p. 44、练习 7）。 $\gamma)$ $E'_b$ 是天生的。 $\delta)$ $E'_b$ 桶装。 $\varepsilon)$ $E'_b$ 属于超出生学（III、p. 45、锻炼 19）。 c) 证明如果$E'_b$是自反的，那么$\hat{E} = E''$（这显然是自反的）（$cf.$IV，p. 52，练习4和p. 53，练习11）。