习题 7, § 3

a)** 设 E 为 (DF) 空间，U 为 E 中的凸、平衡且封闭的集合，它吸收 E 的有界子集，并令 $(x_n)$ 为 $\complement U$ 的点的序列。 证明 E 中存在 0 的邻域 V，但不存在包含任何 $x_n$。 （令 $(A_n)$ 为 E 的规范出生学的可数基。 证明，通过归纳，我们可以将数 $> 0$ 的定义序列 $(\lambda_n)$ 和序列 $(V_n)$ 凸、平衡且闭邻域为 0，使得 $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j, \lambda_n A_n \subset U$ 和 $x_n \in \complement V_n$ 对于所有$n$。 For this, if the $\lambda_j$ and $V_j$ have been constructed for $j \leq n$, take $\lambda_{n+1}$ such that $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset U$ and $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ for all $j \leq n$, then take $V_{n+1}$ containing the closure of the convex envelope of the union of the $\lambda_j A_j$ for $j \leq n + 1$. b) Deduce from a) that if M is a subset of E containing an everywhere dense countable set, then the topology induced on M by the strong topology of the bidual $E''$ of E is identical with the topology induced by that of E. 特别地，E中的收敛序列对于E的拓扑和由$E''$的强拓扑引起的拓扑是相同的；对于 E 的每个可度量的子集 M，E 的拓扑在 M 上引发的拓扑与由 $E''$ 的强拓扑引发的拓扑相同。 c) 从a) 推出，如果E 中存在可数处处稠密集合，则E 是下桶的。 d) 从 b) 和 exerc 中推导出来。 6 如果 E 的每个有界子集都可度量由 E 的边界引起的拓扑，则 E 是下桶的。