习题 11, § 4

a)** 设 $E$ 为 Fréchet 空间 $E_n$ 满足的严格归纳极限，可数性第一公理，$F$ $E$ 的处处稠密子空间。对于每个$n$，放入$F_n = \overline{F \cap E_n}$；证明 $E$ 是 $F_n$ 的严格归纳法极限 (cf. III, p. 44, 练习 13, b))。推断 $F$ 是天生的。 （令 $u$ 为线性映射，从 $F$ 变为 Banach 空间 $L$，其中变换将集合限制为有界集合。观察限制 $u_n$ $u$到$F \cap E_n$是连续的，可以从$\overline{F \cap E_n}$延伸到连续线性映射$v_n$到$L$，$v_n$是相同线性映射$v$从$E$的限制变成$L$，和结论，$v$是连续的。） b) 假设对于所有 $n$，$F$ 在 $E$ 中不闭合，但$F \cap E_n$ 在$E_n$ 中闭合（练习 10，*b*））。令$A_n$为$E_n$中的可数稠密集合，令$G$为由$F$的并和$A_n$生成的$E$的向量子空间。证明 $G$ 是天生的空间，其中 $F$ 是子空间，其补码具有可数基，但 $F$ 不是桶内的 (cf. III、p. 41， § 2，执行 4 和 p. 45，执行 17）。