习题 16, § 4

a) 设 E 和 F 是两个无限维*复数*范数空间，以及$u$一个从 E 到 F 的双射半线性映射，相对于$\mathbf{C}$的自同构$\sigma$，其中变换将 E 的每个闭超平面变成一个闭闭F 的超平面。证明 $\mathbf{C}$ 的自同构 $\sigma$ 必然是连续的（因而，要么是恒等式，要么是自同构 $\xi \mapsto \overline{\xi}$）。 （通过*归谬*论证：令$(x_n)$为练习15，a的E满足条件中点的序列）并令$(\lambda_n)$为复数的有界序列，使得$|\lambda_n^\sigma| \geq n.\ \|u(x_n)\|$ 对于所有 $n$；如果对于所有$n$，$x' \in E'$使得$\langle x_n, x' \rangle = \lambda_n$，则考虑所有$x \in E$的封闭超平面的$u$下的像，使得$\langle x, x' \rangle = 1$并导出矛盾。） b) 从a)推导出$u$是从E到F的连续半线性映射（IV，p. 7，推出）。 c) 令$\sigma$为域$\mathbf{C}$的不连续自同构。证明双射 $(\xi_n) \mapsto (\xi_n^\sigma)$ 从 $\mathbf{C}^N$ 到自身变换，每个闭超平面变成闭超平面（*cf.* IV、p. 14，道具 15）。