习题 17, § 4

设E，F是两个Banach空间，$u$一个从E到F的严格态射。则存在数$m > 0$，使得对于每个$\varepsilon \in ]0, m[$和每个$y \in F$，都存在$z \in E$使得$u(z) = y$和$\|z\| \leq (m - \varepsilon)^{-1}\ \|y\|$。 a) 设B为E中的闭球$\|x - a\| \leq r$，并令$\omega$为映射，从B到F满足以下条件：$1^o$$\sup_{x \in B} \|w(x)\| = M < + \infty$； $2^o$ 存在数 $k > 0$，因此对于 B 中的所有$x, x'$，我们有$\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$（“Lipschitz 条件”）。证明如果$k < m$和$M < r(m - k)$，则B在映射$x \mapsto u(x) + w(x)$包含下的像是一个带有中心$b = u(a)$的球。 （证明对于每个足够接近$b$的$y \in F$，我们可以对B的点进行定义序列$(x_n)_{n \geq 0}$，使得$u(x_0) = y$和$u(x_n) = y - w(x_{n-1})$对于$n \geq 1$，并且使得$(x_n)$收敛于B 的点。） b) 假设从所有 E 到 F 的$w$ 是映射，使得对于 E 中的每个 $x, x'$ 都有 $\|w(x) - w(x')\| \leq k \|x - x'\|$。证明如果 $k < m$，$u + w$ 是满射，并且从 E 到 F 开映射。 c) 特别地，如果$w$是从E到F的连续线性映射使得$\|w\| < m$，则$v = u + w$是从E到F的严格态射。如果$\varepsilon \in ]0, m[$，则对于每个带有$\|x\| = 1$的$x \in v^{-1}(0)$，存在$x_0 \in u^{-1}(0)$使得$\|x - x_0\| \leq \|w\|/(m - \varepsilon)$；如果在加法 $\|w\| < m - \varepsilon$ 中，那么对于每个 $x_0 \in u^{-1}(0)$ 和 $\|x_0\| = 1$，都存在 $x \in v^{-1}(0)$ 使得

推出，如果存在 E 的闭向量子空间 G，它是 $u^{-1}(0)$ 的补集，则只要 $\|w\|$ 足够小，G 也是 $v^{-1}(0)$ 的补集（通过归谬法论证：证明 $v^{-1}(0)$ 的投影到$u^{-1}(0)$不能包含在$u^{-1}(0)$的封闭超平面中；另一方面，注存在$a > 0$使得每个点$x \in G$使得$\|x\| = 1$距离$\geq a$ $u^{-1}(0)$）。