习题 18, § 4

a) 设 E, F 是两个范数空间, $u$ 从 E 到 F 的严格单射态射；那么就有数 $m > 0$，使得 $\|u(x)\| \geq m \|x\|$ 对于所有 $x \in E$。证明如果$w$是从E到F的连续线性映射使得$\|w\| < m$，则$v = u + w$是从E到F的严格单射态射。此外，对于所有使得$\|y_0\| = 1$的$y_0 \in u(E)$，存在使得$\|y - y_0\| \leq \|w\|/m$的$y \in v(E)$；对于每个$y \in v(E)$和$\|y\| = 1$，都存在$y_0 \in u(E)$使得$\|y - y_0\| \leq \|w\|/(m - \|w\|)$。 b) 由a)推导出，如果在加法中，E和F是Banach空间，并且如果存在F的闭向量子空间G，并且是闭子空间$u(E)$的补集，则每当$\|w\|$时，G也是$v(E)$的补集足够小（如练习 17，c）所示）。