习题 22, § 4

令 X 为实巴拿赫空间，E 为 X 的有限维子空间。 a) 令 S 为 X 中的单位球体。证明对于每个 $\varepsilon > 0$，都存在一个线性独立的点 $z_i \in S$ ($1 \leq i \leq r$) 的有限数，这样对于每个 $x \in S \cap E$，都存在指标 $i$，使得 $\|x - z_i\| \leq \varepsilon$。 b) 令$z'_i$ ($1 \leq i \leq r$) 为E 的对偶$E'$ 中的点，对于每个$i$ 为$\|z'_i\| \geq 1$，以及$\langle z_i, z'_j \rangle = \delta_{ij}$（克罗内克的指标），并令F 为余维的闭子空间 E 中的 $r$ 与 z'_i 生成的 E' 的子空间正交。证明对于每个 x ∈ S ∩ E 和每个 y ∈ F，\|x + y\| ≥ 1 − ε，特别是，E ∩ F = {0}，因此和 E + F 是拓扑直和。 c) 从b)推导出从E + F到E 相应的到拓扑直和分解 E ⊕ F的连续投影算子 P有范数 \|P\| < 1/(1 − ε)。