习题 5, § 4

设E和F是两个赋范空间，u是从E到F的连续线性映射。 a) 证明如果 u 是从 E 到 F 的严格态射，则 'u 是从强对偶 F'_b 到强对偶 E'_b 的严格态射。 b) 假设E是完备的；表明，对于弱拓扑 σ(F', F) 和 σ(E', E)，如果 'u 是从 F'_b 到 E'_b 的严格态射，则 u 是从 E 到 F 的严格态射，并且 'u 是从 F' 到 E' 的严格态射（将 F 视为其完成的子空间）。 c) 给出例，其中E不完备，F完备，对于强拓扑和弱拓扑，'u是从F'到E'的严格单射态射，但u不是从E到F的严格态射（cf.II，p. 74，练习5）。 d) 给出例，其中E不完备，F完备，u是从E到F的严格单射态射，对于强拓扑，“u是从F”到E的严格态射，但对于弱拓扑则不然（取E在F中处处稠密）。 e) 如果 F 是完备的，并且对于弱拓扑，如果“u 是从 F”到 E”的严格态射，那么对于强拓扑，“u 是从 F”到 E”的严格态射（扩展 u 到 Ē）。 f) 给出例，其中 E 是完整的，F 是不完整的，“u 是从 F”到 E 的严格态射，对于弱拓扑但不是强拓扑（cf. II，p. 74，练习 5）。