习题 7, § 4

a) 设 E 为 Banach 空间，且 (x_α)_{αεA} 为 E 单位球体中的处处稠密集合。设 u 为从空间 $\ell^1$(A)(I, p. 4) 到 E 的线性映射，定义为u(t) = $\sum_{\alpha\in A} t(\alpha)x_\alpha$ 对于所有 $t = (t(\alpha))_{\alpha\in A}$ 属于到 $\ell^1$(A)。证明 u 是从 $\ell^1$(A) 到 E 的严格态射，因而 E 同构于 $\ell^1$(A) 的商空间。

b) 从a)推导出$\ell^1(\mathbf{N})$的闭子空间的例，其在$\ell^1(\mathbf{N})$中没有拓扑补集（对于E取$c_0(\mathbf{N})$并使用IV、p. 54、执行15、$b$）和p. 55，锻炼。 18）。