习题 15, § 5

设 E 为 Banach 空间和 Banach 基 $(e_n)$（练习 14）；则E的对偶$E'$中存在唯一的序列$(e'_n)$，使得Banach基$(e_n)$的项中的每个$x \in E$的表达式都可以写为$x = \sum_{n=0}^\infty \langle x, e'_n \rangle e_n$。

a) 令 $F_n$ 为由 $e_m$ 对 $m \geq n$ 生成的 E 的闭向量子空间。对于每个$x' \in E'$，让$\|x'\|_n$表示线性形式$x'$到$F_n$的限制中的范数。证明，要使 $(e'_n)$ 成为 $E'$ 的 Banach 基，对于每个 $x' \in E'$，序列 $(\|x'\|_n)$ 趋于 0 是充分必要的。（考虑转置 $tP_n$ 并评估范数 $\|tP_n \cdot x' - x'\|$。）在这种情况下，Banach 基 $(e_n)$ 被称为“收缩”。

b) 假设 Banach 基 $(e_n)$ 正在收缩。证明对于 E 的双对数 $E''$ 的每个点 $x''$，和 $\sum_{m=0}^n \langle e'_m, x'' \rangle e_m$ 的序列在 E 中都有界（考虑 $E''$ 中的转置 $t(tP_n)$）。相反，对于每个标量序列$(a_n)$，使得和$\sum_{m=0}^n a_m e_m$的序列在E中有界，存在一个唯一的$x'' \in E''$，使得$\langle e'_n, x'' \rangle = a_n$对于所有$n$（使用闭球的紧凑性$E''$ 对应拓扑 $\sigma(E'', E')$）。

c) E 中的 Banach 基 $(e_n)$ 被称为“完全”，如果对于每个序列 $(a_n)$ 标量使得和 $\sum_{m=0}^n a_m e_m$ 的序列有界，级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n e_n$ 收敛。如果$(e_n)$是E的收缩基，则$E'$的基$(e'_n)$是完备的（使用$E'$中闭球的紧致性来表示$\sigma(E', E)$）。

d) 一般来说，序列$(e'_n)$是E的强对偶$E'$的闭子空间$F'$的Banach基，由$e'_n$生成，并且存在从E到强的单射连续线性映射$J$ $F'$的对偶$F''$，使得$\langle J.x, z' \rangle = \langle x, z' \rangle$适用于所有$x \in E$和所有$z' \in F'$。证明存在一个常量 $K > 0$ 使得 $\|J.x\| \geq K.\|x\|$，并且如果基 $(e_n)$ 是完整的，则 $J$ 是从 E 到拓扑向量空间 $F''$ 的同构。

e) 证明 E 是自反的，基 $(e_n)$ 是收缩且完整的充分必要（使用 b））。