习题 18, § 5

a) 在实数的所有无限序列的空间$\mathbf{R}^N$中，考虑所有序列$x = (\xi_n)$的集合J，其中数

是有限的，对所有整数$m \geq 1$和整数$p_1 < p_2 < \cdots < p_{m+1}$的所有严格递增的序列取上确界。证明 J 上的 $\|x\|$ 是范数，并且对于这个范数 J 是 Banach 空间。对于每个$x \in E$，证明序列$(\xi_n)$有一个有限的极限$u(x)$，并且$u$是E上的非零连续线性形式；让 $J_0$ 表示 J 的闭超平面，方程为 $u(x) = 0$ (R. C. James' 空间)。 b) 证明向量 $e_n = (\delta_{mn})_{m \geq 0}$ 形式 $J_0$ 的 Banach 基并且这个基正在收缩（IV，p. 70，练习 15）。 （为了证明后者点，如练习17，a中那样论证），通过证明构造的序列$(y_k)$使得级数与一般项$y_k/k$收敛于E；这意味着矛盾。） c) 证明从$J_0$到自身的恒等映射可以从强对偶$J_0''$到J扩展到拓扑向量空间同构，这样$J_0''/J_0$是一维的（使用IV，p. 70，执行15， b））。推断 $J_0$ 中的 Banach 基都不能是无条件的（练习 17，c））。 d) 令$H_1, H_2$为$J_0$的两个闭向量子空间，分别由$e_{2n}$和$e_{2n+1}$生成，对于$n \geq 0$。证明拓扑向量空间、$H_1$和$H_2$同构于希尔伯特空间$\ell^2(\mathbf{N})$，并且$J_0$不是$H_1$和$H_2$的和。*。 e) 证明在$J_0$上不存在以$J_0$的实局部凸空间结构为底层结构的复局部凸空间结构 (cf. IV, p. 52,练习3）。