习题 2, § 5

a) 令 X 为常规空间且 A 子集为 X。 假设A的点的每个序列在X中都有极限点，并且X上存在一个可度量的拓扑T，它比给定的拓扑T_0更粗糙。 证明 A 在 X 中的闭包 Ā 是一个紧可度量空间（通过反证论证，证明 T 和 T_0 在 Ā 上导出的拓扑是相同的）。 b) 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间，它是由 E 诱导的拓扑的可度量向量子空间的序列 (E_n) 的并。 证明，为了使 E 的子集 A 在 E 中相对紧，A 的点的每个序列在 E 中都有极限点是充分必要的。 (If (W_{mn}) (m ≥ 1) 是 E_n 中 0 的凸邻域的基系统，其中：在 E_n 中开，令 U_{mn} 为 E 中 0 的凸邻域，使得 E_n ∩ U_{mn} = W_{mn} (II, p. 33, 引理 2)；在 E 上考虑拓扑，其中 U_{mn} (m ≥ 1, n ≥ 1) 形式邻域的基本系统为 0）。 c) 扩展 Šmulian 的定理到 Fréchet 空间的严格归纳法极限空间 (II, p. 33)。