习题 6, § 5

a) 令X为紧空间，H为乘积空间$\mathbf{R}^X$的凸子集，X上连续函数的由……组成。假设 H 中非空凸且闭子集的每个递减序列都有一个非空交。证明$\mathbf{R}^X$中H的闭包$\overline{H}$是紧的，并且由X上的连续函数组成。 （通过反证法论证：考虑一个非连续的函数$u \in \overline{H}$；证明那么将存在X的点$a \in X$、数$\delta > 0$、序列$(x_n)$点并且H 中函数的序列 $(f_m)$ 使得： $1^\circ\ |u(x_n) - u(a)| \geq \delta$ 对于所有 $n$； $2^\circ\ |f_m(x_n) - f_m(a)| \leq \frac{\delta}{8}$ 为 $m \leq n$； $3^\circ\ |u(x_n) - f_m(x_n)| \leq \frac{\delta}{8}$ 和 $|u(a) - f_m(a)| \leq \frac{\delta}{8}$ 对应 $m \geq n + 1$。考虑序列$(x_n)$的极限点b，以及$A_m$的函数$f$属于到交，其中$A_m$是集合H中的封闭凸包络共 $f_k$ 为 $k \geq m.$ b) 令 E 为 Hausdorff 且准完全局部凸空间，$E'$ 其对偶。设H是E的凸子集，使得H的非空且闭凸子集的每个递减序列都有一个非空交；表明对于拓扑 $\sigma(E, E')$，H 在 E 中相对紧凑。 （约化对于E完整的情况；考虑E嵌入${E'}^*$并使用a）以及III，p. 21，cor。 1.)