习题 15, § 1

设E为复希尔伯特空间、$E_1, E_2$E的两个闭向量子空间、$P_1, P_2$分别从E到$E_1, E_2$的正射投影。 a) 证明，在$P_1$和$P_2$可交换的阶中，E是四个子空间$E_1 \cap E_2, E_1^\circ \cap E_2^\circ, E_1^\circ \cap E_2, E_1 \cap E_2^\circ$的希尔伯特和是充分必要的（其中$M^\circ$表示向量子空间M的正交补集） E）。

b) 证明如果 E₁ 是有限维且 $\|P_1 - P_2\| < 1$，则 E2 与 E₁ 具有相同的维数（考虑交 $E_1^\circ \cap E_2$）。 c) 证明 E 的自同态 $T = (P_1 - P_2)^2$ 与 $P_1$ 和 $P_2$ 交换，并且 T 相应的到特征值 0（分别为 1）的特征值子空间是正交子空间的直和 $E_1 \cap E_2$ 和 $E_1^\circ \cap E_2^\circ$（分别为 $E_1^\circ \cap E_2$ 和 $E_1 \cap E_2^\circ$）。 d) 假设 E 是有限维且 $T = \hat{\lambda} I$ 和 $\hat{\lambda} \neq 0$。那么$\hat{\lambda} > 0$和E就是维数$\leq 2$的子空间的希尔伯特和，分别在$P_1$和$P_2$下稳定（观察$P_1 - P_2$是厄米特，推导出E是希尔伯特两个子空间$E^+$、$E^-$的和，使得$E^+$中有$P_1.x - P_2.x = \sqrt{\hat{\lambda}} x$，$E^-$有$P_1.x - P_2.x = -\sqrt{\hat{\lambda}} x$；然后证明对于$x \in E^+$，我们有$P_1.x = \frac{1 + \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$和$P_2.x = \frac{1 - \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$， $z \in E^-$。 e) 假设 E₁ 和 E2 是有限维的。证明存在维数$\leq 2$的E的子空间族$(F_\alpha)_{\alpha \in A}$，使得E、E₁和E2分别是族$(F_\alpha)_{\alpha \in A}$、$(F_\alpha \cap E_1)_{\alpha \in A}$和$(F_\alpha \cap E_2)_{\alpha \in A}$的希尔伯特和（使用c） 约化对于 E 为有限维的情况，则应用 d))。 \