习题 17, § 1

a) 设 E 为维数 2、$P_1, P_2$ 的实希尔伯特空间，分别从 E 到线 $D_1, D_2$ 的两个正射投影，假设不同。证明对于每个$x \in E$使得$\|x\| = 1$，我们有$\|(\hat{P}_1 - \hat{P}_2).x\| = \sin \theta$，其中$\theta$是$D_1$和$D_2$之间的角度，位于0和$\pi/2$之间，并且对于E中的每个$y \neq 0$，存在$x \neq 0$使得$(P_1 - P_2).x$是与 y 共线。 b) 设 E 为实希尔伯特空间、$P_1, P_2$ E 上的两个正投影仪，分别具有像 $E_1, E_2$。证明 $\|P_1 - P_2\|$ 是数 $\sin \theta$ 的下界，其中 $\theta$ 是两条线 $D_1, D_2$ 之间 0 到 $\pi/2$ 之间的角度，使得 $D_1 \subset E_1, D_2 \subset E_2, D_1$ 和 $D_2$ 正交$E_1 \cap E_2$。 c) 设$Q_1, Q_2$为E上两个连续的投影算子，其中像$E_1, E_2$，并令$P_1, P_2$分别为$E_1$和$E_2$的正射投影。显示$\|P_2 - P_1\| \leq \|Q_2 - Q_1\|$。 （观察$(Q_2 - Q_1)P_2 = (I - Q_1)(P_2 - P_1)$并使用a）和b）。）