习题 23, § 1

令 E 为维数 $\geqslant 3$ 的复范数向量空间，使得对于 E 中的每个（复）齐次平面 P，存在从 E 到 P 且范数 1 的连续投影算子。证明 E 上的范数是前希尔伯特式。使用V，p. 60，练习。 2 约化到 E 为维数 3 超过 $\mathbf{C}$ 的情况，并按 exerc 中的方式进行。 22.（对于证明的部分 b），考虑对于每个$x' \in E'$使得$\|x'\| = 1$，所有$x \in S$的凸集合$G_{x'}$使得$\langle x, x' \rangle = 1$，证明如果$G_{x'}$不只是0，它会维数 $\mathbf{R}$ 至少 3 个；那么在$G_{x'}$生成的实仿射线性簇中，考虑$G_{x'}$的边界点，其中仅存在$G_{x'}$的一个支持超平面（实数）。类似地，对于证明的部分c)，考虑对于所有$x \in S$、所有$x' \in S'$的集合$G'_x$，使得$\langle x, x' \rangle = 1$并证明$G'_x$约化到点；为此，证明，如果不是，$G'_x$生成的真实仿射线性簇将在$\mathbf{R}$上至少有2个维数，并且在$\mathbf{C}$上将包含两个线性独立的向量。 利用得出V、p. 65，锻炼。 21.)