习题 26, § 1

如果 E 中单位球体的所有点是单位球的平滑度（II，p. 87，执行 6）的点，则称实数范数空间 E 是平滑的。为此，存在从$E - \{0\}$到$E' - \{0\}$的唯一正齐次映射$f$是必要且充分的，使得$\|f(x)\| = 1$适合$\|x\| = 1$，以及$\langle x, f(x) \rangle = \|x\| \cdot \|f(x)\|$。证明以下性质是等价的： $\alpha)$ E 是光滑的。

β) 对于 E 中的所有 $x \neq 0$ 和所有 $y \in E$，存在一个*唯一*标量 $\alpha$，使得 $\alpha x + y$ 准正规于 $x$。

γ) 对于每个$x \in E$，如果$y$和$z$准正规于$x$，则$y + z$准正规于$x$。 （要看到 γ）蕴含 β），请观察如果 $\alpha x + y$ 和 $\beta x + y$ 准正规于 $x$，则 $(\alpha - \beta) x$ 准正规于 $x$。）