习题 3, § 1

令 E 为实数有限维向量空间，其中维数 $n$，$f$ E 上的正分离对称双线性形式，以及$B_f$ 由关系 $f(x, x) \leq 1$ 定义的有界凸集合。 如果$a = (a_1, ..., a_n)$是E的基，并且$\Delta$是$f$相对于这个基的判别式，我们称$B_f$相对于$a$数$v_a(f) = \gamma_n |\Delta|^{-1/2}$的*体积*，其中$\gamma_n = \pi^{n/2}/\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)$。 如果$b = (b_1, ..., b_n)$是E的第二个基，并且如果

我们有$v_b(f) = |\delta| v_a(f)$。 a) 证明，如果 $f$ 和 $g$ 是两个正数，分离对称的双线性形式，使得 $B_f \subset B_g$（相当于 $g \leq f$），则 $v_a(f) \leq v_a(g)$（考虑 E 的基，它对于 $f$ 和 $g$ 都是正交的）。 b) 设A是E中的对称紧凸集合，其中0作为内部点。 证明在 E 上所有正的、分离对称双线性形式 $f$ 使得 $A \subset B_f$ 中，存在且仅有一个其 $B_f$ 的体积（相对于给定的 E 基）可能为最小的。 （为了证明唯一性，观察如果A包含在$B_f$和$B_g$中，那么它就在$B_{(f+g)/2}$中，并且对于E的每个基$a$，我们都有$v_a((f+g)/2) \leq \frac{1}{2}(v_a(f) + v_a(g))$，它对于$f$和$g$都是正交的。） c) 设 A 为 E 中的对称紧凸凸集合，其中 0 作为内部点，并令 $f$ 为正、分离、对称双线性形式，使得$A \subset B_f$ 且$B_f$ 相对于 E 的给定基具有最小的可能体积。 证明 E 中存在点 $x_1, ..., x_n, u_1, ..., u_n$，具有以下性质： α) 对于每个 $k$，我们有 $x_k \in A$ 和 $f(x_k, x_k) = 1$。 β) 序列 $(u_1, ..., u_n)$ 是 E 对于 $f$ 的正交基。 γ) 如果我们用$x_k = \sum_{j=1}^n a_{kj} u_j$代替$1 \leq k \leq n$，我们就有$a_{kj} = 0$代替$k < j$和$a_{kk}^2 \geq (n - k + 1)/n$。 （在$k$上由归纳争论。 假设$x_1, ..., x_k, u_1, ..., u_k$已经构造完毕，令$P_k$为从E到$u_1, ..., u_k$生成的子空间的正射投影（对于$f$）；对于每个 $\varepsilon > 0$，考虑双线性形式 $f_\varepsilon$ 定义为 并使用 b) 证明 $A \not\subset B_{f_\varepsilon}$。 对于 A 中的每个整数 $p \geq 1$ 选择点 $y_p$，而不是属于到 $B_{f_{1/p}}$；取 $x_{k+1}$ 极限点或序列 $(y_p)$ 使得 接下来选择$u_{k+1}$。） d) 证明 b) 和 c) 的类似物，对于正分离对称双线性形式，使得 $B_f \subset A$ 并且$B_f$ 的体积（相对于给定的 E 基）是最大的可能。