习题 30, § 1

设E是Banach空间，E'是其强对偶，E''是E'的强对偶，E'''是E''的强对偶，E^{IV}是E'''的强对偶。 a) 假设 E 是非自反的；那么存在$x' \in E'$使得$\|x'\| = 1$，但是我们没有$\langle x, x' \rangle = 1$对于*任何*$x \in E$和$\|x\| = 1$（IV，p. 57，练习25）。另一方面，存在 E' 的点的序列 $(x'_n)$，使得 $\|x'_n\| = 1$ 强烈倾向于 $x'$，并且存在 E 的点的序列 $(x_n)$，使得$\|x_n\| = 1$ 和 $\langle x_n, x'_n \rangle = 1$ 对于所有$n$（II，p. 77，练习 4）。证明在 E'' 中，对于拓扑 $\sigma(E'', E''')$，序列 $(x_n)$ 不会收敛到任何点（请观察，否则它将收敛到$\langle x, x' \rangle = 1$ 的点 $x \in E$）。 b) 证明$x'$和$x'_n$不可能是E'''中单位球面光滑度的点（观察$x_n$，考虑为$E^{IV}$的元素将是唯一元素$x_n^{IV} \in E^{IV}$，使得$\|x_n^{IV}\| = 1$ 和 $\langle x'_n, x_n^{IV} \rangle = 1$ 并使用 exerc 29)。 c) 结论如果 E''' 是光滑的，或者如果 E^{IV} 是严格凸的，那么 E 必然是自反的。