习题 35, § 1

令 E 表示维数 $n$ 的实数有限维希尔伯特空间，E 的 S 单位球面，m 为 S 上范数 1 的唯一正测度，其在 E 的自同构的群下保持不变。将 S 视为度量空间，其中距离由$d(x, y) = \operatorname{Arc} \cos \langle x|y \rangle$定义。对于每个$x \in S$和$r \geq 0$，令$B(x, r)$表示S中所有点$y$的集合，使得$d(x, y) \leq r$；对于 S 的每个子集 A 和每个实数 $r \geq 0$，令 $A_r$ 为 S 中所有点 $x$ 的集合，使得 $d(x, A) \leq r$。

a) 给定 S 的两个闭子集 A 和 B，令 $\delta(A, B)$ 为所有实数 $r \geq 0$ 中集合的下界，使得$A \subset B_r$ 和$B \subset A_r$。证明$\delta$是S的所有闭子集在集合$\mathscr{F}$上的距离，并且$\mathscr{F}$是该距离的紧凑度量空间。证明从$\mathscr{F}$到$\mathbf{R}$的映射$A \mapsto m(A)$是上半连续的。

b) 令S中的$x_0$为点，令E中的H为与$x_0$正交的超平面，H中的$x_1$点以及$\gamma$连接$x_0$与$-x_0$的圆弧， 经过到$x_1$，即形式$x_0 \sin \theta + x_1 \cos \theta$的S中所有点中的集合和$|\theta| \leq \pi/2$。对于每个$y \in \gamma$，令$H_y = H + y$和$S_y = S \cap H_y$；让$m_y$表示范数1在$S_y$上的唯一正测度，它在E的所有自同构的群下保持不变，而使$x_0$固定。

令 A 为 S 的闭子集和$\gamma$ 中所有点的$\gamma'$ 集合，使得$A \cap S_{p'}$ 非空。对于每个$y \in \gamma'$，都存在一个唯一的实数$r(y)$，使得$0 \leq r(y) \leq \pi$和$m_y(A \cap S_y) = m_y(B(y, r(y)) \cap S_y)$；令$s_\gamma(A)$为集合$B(y, r(y)) \cap S_y$的并，因为$y$的范围超过$\gamma'$。证明$s_\gamma(A)$是闭集并且$m(A) = m(s_\gamma(A))$。

c) 对于 S 的每个闭子集 A，所有实数 $r \geq 0$ 的集合的下确界 $r(A)$，其中存在 $x \in S$ 和 $A \subset B(x, r)$ 称为 A 的半径。令 $M(A)$ 表示所有闭闭的集合 S 的子集 C，使得每个 $\varepsilon > 0$ 都有 $m(C) = m(A)$ 和 $m(C_\varepsilon) \leq m(A_\varepsilon)$。证明以下条件对于 S 的闭子集的每个对 (A, B) 是等价的：

(i) $m(A) = m(B)$且B为形式$B(x, r)$且$x \in S$及$r \geq 0$； (ii) 属于至 $M(A)$ 中每子集 C $B \in M(A)$ 和$r(B) \leq r(C)$。 （通过 n 上的归纳论证，我们从 b 推导出）对于 S 的每个闭子集 A，$s_\gamma(A)$ 属于到 $M(A)$；如果$r > 0$使得$A \subset B(x_1, r)$表明S中$B(x_1, r)$边界的每个点，其中属于到$s_\gamma(A)$也属于到A。）