习题 36, § 1

记号与 exerc 中的相同。 35. a) 令$a$为E中范数1的向量，所有$x \in S$的$K_\varepsilon$集合，使得所有$x \in S$的$|\langle x|a \rangle| \leq \sin \varepsilon$和$L_\varepsilon$集合，使得$d(x, S_a) \geq \varepsilon$（其中$S_a$是S的所有点中与$a$正交的集合）。证明对于足够小的$\varepsilon > 0$，我们有$m(K_\varepsilon) \geq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$和$m(L_\varepsilon) \leq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$（我们观察到，从S到$\mathbf{R}$的区间$(-1, 1)$，在映射$x \mapsto \langle x|a \rangle$下测量$m$的像是形式） $c_n(1 - t^2)^{(n-3)/2}dt$ 与合适的常数 $c_n > 0$。 b) 设$f$是从S到$\mathbf{R}$和$M(f)$实数的连续映射，使得所有$x \in S$中的集合，其中$f(x) \leq M(f)$（分别为$f(x) \geq M(f)$）的测度为$\geq \frac{1}{2}$ $m$。令 B 为所有 $x \in S$ 中的集合，使得 $f(x) = M(f)$。从 a) 中推断出，对于每个足够小的 $\varepsilon > 0$，所有 $x \in S$ 中的集合使得 $d(x, B) \geq \varepsilon$ 的 $m$ 测度最多等于 $4e^{-n\varepsilon^2/2}$。 c) 对于每个$\varepsilon > 0$，令$h(n, \varepsilon)$为最小的整数$h \geq 1$，其中S中存在点$x_1, ..., x_h$，使得$S = \bigcup_{i=1}^h B(x_i, \varepsilon)$显示$\lim_{\varepsilon \to 0} (\log h(n, \varepsilon))/|\log \varepsilon| = n$。 d) 回想一下，E 是维数 $n$ 的实希尔伯特空间。令 k 为正整数和 $\varepsilon, \varepsilon'$ 两个严格正的数，使得 $4h(k, \varepsilon) < e^{n\varepsilon'/2}$。令$f$为从S到$\mathbf{R}$的映射，使得$|f(x) - f(y)| \leq \|x - y\|$对于S中的所有$x, y$，以及b)中所述的$M(f)$实数满足关系。证明存在 E 的向量子空间 F，维数 k，满足以下条件 ：对于每个 $x \in F \cap S$，在 $F \cap S$ 中存在点 $y$，使得 $\|x - y\| < \varepsilon$ 和$|f(y) - M(f)| \leq \varepsilon'$。