习题 37, § 1

令 E 为维数 $n$ 的实希尔伯特空间，并令 $\gamma$ 为 E 的正测度，使得 $\int_E e^{i\langle x|y \rangle} d\gamma(y) = \exp(-\pi \|x\|^2/2)$ 对于所有$x \in E$（INT，IX, § 6, No. 5）。令$m$为范数1在E的单位球体S上的唯一正测度，其在E的自同构的群下不变。 a) 令$p$为E上的连续函数，对于所有$x \in S$和所有实数$t$，满足$p(t.x) = t.p(x)$。用 $c_n = \pi^{1/2} \Gamma(n/2)/\Gamma((n+1)/2)$ 证明 $\int_E pd\gamma = c_n \int_S pdm$。

b) 证明存在一个常数 $C > 0$，独立于 $n$，使得

对于 $E$ 的每个正交基 $(e_1, ..., e_n)$。

c) 令$\varepsilon > 0$ 且令$k$ 为正整数。由 b) 和习题 12 (V, p. 63) 和 36, d) 推导出，如果 $n$ 足够大，那么对于维数 $n$ 的实数范数空间 $V$，也存在向量 $V$的子空间$W$，维数$k$，满足以下性质：存在一个真正的希尔伯特空间$W_1$，维数$k$，以及从 $W$ 到 $W_1$ 的双射线性映射 $u$，使得 $\sup (\|u\|, \|u^{-1}\|) \leq 1 + \varepsilon$。