习题 5, § 1

令 E 为维数 $\geq 2$ 的实数或复数向量空间。假设给定从 E 到 $\mathbf{R}_+$ 的映射 $x \mapsto \|x\|$，对于每个标量 $\lambda$ 都有满足 : $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$，$\|x\| = 0$ 意味着$x = 0$ 并且我们有 « 托勒密不等式 »

对于 E 中的每个$a, b, c, d$。 a) 证明 E 上的 $\|x\|$ 是范数（替换 $d$ 为 0，$b$ 为 $-a$）。

b) 证明 E 上的范数是前希尔伯特式的。 （从托勒密不等式推导出不等式$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 \geq 4 \|x\| \cdot \|y\|$并使用练习。4，c.）证明逆命题（表明在希尔伯特空间中，如果我们放入$a' = a/\|a\|^2, b' = b/\|b\|^2$，我们有等式$\|a' - b'\| = \|a - b\|/\|a\| \cdot \|b\|$）。如果$\|a\| = \|b\| = \|c\| = \|d\|$和四个向量$a, b, c, d$在同一平面上，则托勒密不等式的两个成员相等。