习题 6, § 1

a) 设 E 为维数 $\geq 2$ 的实数或复数范数空间。证明对于 E 中的每个 $x \neq 0$ 和每个实数 $\alpha > 0$，E 中都存在元素 $y$，使得 $\|y\| = \alpha$ 和 $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$。 b) 假设如果E 满足关系 $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ 中有向量 $x, y$，那么我们也有$\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$。证明 E 上的范数是前希尔伯特式的。 （使用 a），约化到 exerc 中的情况。 4：限制于E是2维的情况，我们证明如果$\|x_1\| = \|x_2\| = 1, y = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)$且$z \in E$使得$\|y\|^2 + \|z\|^2 = \|y + z\|^2 = 1$，则$z = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$或$z = -\frac{1}{2}(x_1 + x_2)$。 c) 假设对于E中的每个向量$x \neq 0$，所有向量$y$满足$\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$中的集合H在加法下稳定。证明 b) 的结论成立。 （约化对于E为实数且维数2的情况。使用a）和E中单位球的紧致性，证明H是闭集合包含至少两条不同的原点为0的半线；证明这两条半线通过注意到彼此相对，否则，它们生成的凸集合将包含在H中，并且将包含要么$x$要么$-x$。）