习题 1, § 2

令 $B$ 为无限维希尔伯特空间 $E$ 中的正交基。 a) 证明$E$中的每个处处稠密子集的基数至少等于$B$的基数，并且$E$中存在与$B$等价的处处稠密集合。 b) 显示$\mathrm{Card}(E) = \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$（要查看$\mathrm{Card}(E) \leq \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$，请使用a)）。 c) 证明如果$\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(\mathbf{R})$，则$E$的每个代数基的基数等于$\mathrm{Card}(\mathbf{R}) = 2^{N_0}$（使用II，p. 80，练习24，c））；然而，如果$\mathrm{Card}(B) > \mathrm{Card}(\mathbf{R})$，则$E$的每个代数基等价于$B^\mathbf{N}$（使用b）和A，II, § 7，执行。 3、d))。