习题 10, § 2

令 E 为无限维实希尔伯特空间满足（可数性第一公理），$(e_n)_{n \geq 1}$ E 的正交基。 a) 设 A 为 E 中所有点 $e_n/n$ 的集合的闭凸平衡包络线。证明 A 是紧致的，且在点 0 处不存在 A 的闭支撑超平面，但存在通过 0 的线 D 经过使得 $D \cap A = \{0\}$。 b) 设 F 为希尔伯特和 $E \oplus \mathbf{R}$、$e_0$ 向量，其中 $e_n$（对于 $n \geq 1$）形式是 F 的标准正交基。如果 B 是 $\{e_0\} \cup A$ 的闭凸包络，则表明存在闭线段L，F 中点为 0，使得 $L \cap B = \{0\}$，但不存在任何通过 0 分隔 L 和 B 的闭超平面经过（甚至虽然也存在 B 在 0 处的闭支撑超平面）。