习题 11, § 2

令$E_1, E_2$为两个无限维实希尔伯特空间满足可数性第一公理，E为希尔伯特和$E_1 \oplus E_2$（我们将认同与乘积$E_1 \times E_2$）。 令$(e_n)_{n \geq 1}$为$E_1$的正交基；在 $E_2$ 中，设 A 为紧凸凸集合包含 0，D 为穿过 0 的线经过，使得 $D \cap A = \{0\}$ 并假设在点 0 处不存在 A 的闭合支撑超平面（练习 10）。 令$(\alpha_n), (\beta_n)$为数$\geq 0$中的两个序列，使得$\lim_{n \to \infty} \beta_n = 0$和$\sum_n \alpha_n^{-1} < 1$。 令 P 为 $E_1$ 的所有点 $\sum_n \xi_n e_n$ 的集合，使得对于每个 $n \geq 1$ 都有 $0 \leq \xi_n \leq \alpha_n$。 最后，令 Q 为所有点 $(\alpha_n e_n, x + \beta_n a)$ 的集合在 E 中的封闭凸包络，其中 $n \geq 1, a \neq 0$ 是 D 中固定的点，x 范围在 A 上。 a) 证明 $P \cap Q = \varnothing$ 并且 E 中不存在将 P 和 Q 分开的闭超平面。 b) 令 F 为希尔伯特和 $E \oplus \mathbf{R}$，并令 c 为不包含在 E 中的 F 的任意点。 证明由 P 和 Q 分别生成的顶点为 c 的尖凸锥$P_1, Q_1$在 F 中是闭的，并且 F 中不存在分隔$P_1$和$Q_1$的闭超平面（要看到$P_1$和$Q_1$是闭的，证明P和Q包含都不是半直线）。