习题 13, § 2

令 E 为无限维希尔伯特空间满足可数性第一公理，$(e_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ E 的正交基，其指标的集合为有理整数的集合。让 u 表示从 E 到自身的等距，使得对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 都有 $u(e_n) = e_{n+1}$，并把

a) 设 B 为单位球，S 单位球在 E 中。证明 f 到 B 的限制是从 B 到自身的同胚（观察 u 到 S 的限制是从 S 到自身的同胚），并且不存在任何点 $x_0 \in B$ 使得$f(x_0) = x_0$（在其相对于$(e_n)$的坐标项中表示$x_0$）。 b) 对于每个$x \in B$，令$g(x)$为S的交的点，其中半线的原点为$f(x)$经过，通过x。证明 g 是从 B 到 S 的连续映射，使得 $g(x) = x$ 对于所有$x \in S$（与 GT，VI, § 2 比较，练习 8）。推论存在$x_0 \in S$和从$S \times [0, 1]$到S的连续映射 h，使得对于所有$x \in S$都有$h(x, 0) = x_0$和$h(x, 1) = x$。