习题 14, § 2

a) 令 $(E_n)_{n \geq 0}$ 为所有序列 $x = (x_n)$ 的实数 Banach 空间的无限序列，乘积 $F = \prod_{n=0}^\infty E_n$ 由……组成的 E 向量子空间，使得 $\sum_n \|x_n\|^2 < +\infty$。 证明 E 上的函数 $\|x\| = (\sum_n \|x_n\|^2)^{1/2}$ 是范数，并且 E 对于这个范数是完整的：我们说 E 是 Banach 空间 $E_n$ 的 希尔伯特和。 b) 证明E的强对偶$E'$可以与空间$E_n$的强对偶$E'_n$的希尔伯和识别，并且如果$x' = (x'_n) \in E'$，则$\langle x, x' \rangle = \sum_n \langle x_n, x'_n \rangle$（如果u是E上的连续线性形式，$u_n$其限制到$E_n$被视为E的子空间，以及$E_n$的$a_n$点，使得$\|a_n\| = 1$，表明，对于实数的每个序列$(\lambda_n)$，使得$\sum \lambda_n^2 < +\infty$ 级数与一般的项$\lambda_n u_n(a_n)$收敛，并推导出$\sum_n (u_n(a_n))^2 < +\infty$，对于$\ell^2(\mathbf{N})$使用Banach-Steinhaus定理，对于例）。 c) 从b)推导出当$E_n$中的每一个都是自反的时，则E也是自反的。 特别是，如果对于$E_n$，我们取空间$\mathbf{R}^n$赋予范数$\|x\| = \sup_{1 \leq i \leq n} |\xi_i|$对于$x = (\xi_i)_{1 \leq i \leq n}$，则表明E是自反的，但不存在任何与E的拓扑兼容且E是一致凸的范数（V， p. 67，练习31）。